高校数学でわかる漸化式と微分方程式の代数

こんにちは！わせコマ編集部です。

この度、わせコマでは「才能あふれる早稲田生の輝く場所を広げたい」という思いから、「創作系サークル作品連載企画」を進めることになりました！　

第一弾参加サークル

愁文会：４回連載
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今回は理工系学術サークルWathematica様とのコラボ第1回目で、「高校数学でわかる漸化式と微分方程式の代数」です！　

高校で数学を諦めてしまったそこのあなた！この記事を読めば漸化式、そして微分方程式を理解できてしまうかもしれません！

是非最後までご覧ください！！

高校数学でわかる漸化式と微分方程式の代数

いか（理工系学術サークルWathematica）

はじめに

この記事のねらいは，高校数学から数学科で学ぶあれこれを垣間見ることにある．まず，ある漸化式と微分方程式が，非常によく似た方法で簡単に解けることを見る．さらに，2つの解法がどちらも「畳み込み」という技法から裏づけられることを示す．

この記事で扱う問題は，信号処理や制御工学でもしばしば現れる．数学に関心がある方はもちろん，工学に関心がある方にもぜひ読んでほしい．

この記事は横幅が長いので，スマホから読むと見切れるかもしれません．その場合はPCから読んでください．

漸化式の演算子法

漸化式
\[
a_{0} = 1,
\quad a_{1} = 1,
\quad a_{n} = 2a_{n-1}+3a_{n-2}\quad(n\geq 2)
\]を解こう．

まず，細かいことは気にせずざっくり解いてみる．\(n\leq -1\)のときは\(a_{n}=0\)とし，添字\(n\)が動く範囲を整数全体に広げておく．そして，数列の各項を1つ前の項にずらす “演算子” を\(\mathrm{L}\)とおく．すなわち
\[
\mathop{\vphantom{}\mathrm{L}}a_{n} = a_{n-1},
\quad\!\mathop{\vphantom{}\mathrm{L}^{2}}a_{n} = a_{n-2},
\quad\!\mathop{\vphantom{}\mathrm{L}^{3}}a_{n} = a_{n-3},
\quad\!\textrm{etc.}
\]とする．

\(n=0,1\)のとき
\[
\begin{gathered}
a_{0} = 1
= 2a_{-1}+3a_{-2}+1,\\
a_{1} = 1
= 2a_{0}+3a_{-1}-1
\end{gathered}
\]だから，すべての整数\(n\)について
\[
\begin{gathered}
a_{n} = 2a_{n-1}+3a_{n-2}+c_{n},\\
c_{n} = \begin{cases}1 & (n=0),\\ -1 & (n=1),\\ 0 & (n\leq -1\;\mathrel{\textrm{or}}\;n\geq 2)\end{cases}
\end{gathered}
\]が成立する．この式は\(\mathrm{L}\)を用いて
\[
\begin{gathered}
a_{n} = 2(\mathop{\vphantom{}\mathrm{L}}a_{n})+3(\mathop{\vphantom{}\mathrm{L}^{2}}a_{n})+c_{n},\\
(1-2\mathrm{L}-3\mathrm{L}^{2})a_{n} = c_{n}
\end{gathered}
\]と変形できる．\(\mathrm{L}\)は数ではないけれども，そのことはいったん忘れてしまおう．両辺を\(1-2\mathrm{L}-3\mathrm{L}^{2}\)で割ると
\[
a_{n} = \biggl(\frac{1}{1-2\mathrm{L}-3\mathrm{L}^{2}}\biggr)c_{n}
= \frac{1}{4}\biggl(\frac{3}{1-3\mathrm{L}}+\frac{1}{1+\mathrm{L}}\biggr)c_{n}
\]となる．さらに，等比級数の和の公式
\[
\sum_{n=0}^\infty r^{n} = \frac{1}{1-r}
\]をあてはめれば
\[
\begin{aligned}
a_{n} &= \Biggl(\frac{3}{4}\sum_{k=0}^\infty(3\mathrm{L})^{k}+\frac{1}{4}\sum_{k=0}^\infty(-\mathrm{L})^{k}\Biggr)c_{n}\\
&= \sum_{k=0}^\infty\biggl(\frac{3}{4}\cdot 3^{k}+\frac{1}{4}(-1)^{k}\biggr)\mathop{\vphantom{}\mathrm{L}^{k}}c_{n}
\end{aligned}
\]となる．\(\mathop{\vphantom{}\mathrm{L}^{k}}c_{n}=c_{n-k}\)かつ，\(k=n-1,n\)でないときは\(c_{n-k}=0\)なので
\[
\begin{aligned}
a_{n} &= \biggl(\frac{3}{4}\cdot 3^{n-1}+\frac{1}{4}(-1)^{n-1}\biggr)c_{1}\\
&\hphantom{{}={}}+\biggl(\frac{3}{4}\cdot 3^{n}+\frac{1}{4}(-1)^{n}\biggr)c_{0}
\end{aligned}
\]である．

最後に\(c_{0}=1\)，\(c_{1}=-1\)を代入すると
\[
a_{n} = \frac{3^{n}+(-1)^{n}}{2}
\]となる．これで数列\(\lbrace a_{n}\rbrace\)の一般項が求められた．なんとも騙されたような感じがするが，得られた一般項に\(n=0,1,2,3,4\)を代入すると
\[
a_{0} = 1,
\quad a_{1} = 1,
\quad a_{2} = 5,
\quad a_{3} = 13,
\quad a_{4} = 41
\]となり，確かに漸化式\(a_{n}=2a_{n-1}+3a_{n-2}\)を満たすのである．

以上でやってみせた漸化式の解き方は，微分方程式の解法「演算子法」を，数列向けにアレンジしたものである（そこで，本稿ではこの解法を “漸化式の演算子法” と呼ぶ）．実は，ある種の微分方程式も非常によく似た手続きで解ける．

ヘビサイドの演算子法

微分方程式
\[
\begin{cases}
3f^{\prime\prime}(t)+2f^{\prime}(t)-f(t) = t^{2},\\
f(0) = 0\;\mathrel{\textrm{and}}\;f^{\prime}(0) = 2
\end{cases}
\]を解こう．

ここでもまず，細かいことは気にせずざっくり解いてみる．\(t\)で微分する “演算子” を\(\mathrm{D}\)とおくと
\[
(3\mathrm{D}^{2}+2\mathrm{D}-1)f(t) = t^{2}
\]であり，両辺を\(3\mathrm{D}^{2}+2\mathrm{D}-1\)で割れば
\[
\begin{aligned}
f(t) &= \biggl(\frac{1}{3\mathrm{D}^{2}+2\mathrm{D}-1}\biggr)t^{2}
= \frac{1}{4}\biggl(\frac{3}{3\mathrm{D}-1}-\frac{1}{\mathrm{D}+1}\biggr)t^{2}\\
&= \frac{1}{4}\biggl(\frac{1}{\mathrm{D}-1/3}\biggr)t^{2}-\frac{1}{4}\biggl(\frac{1}{\mathrm{D}+1}\biggr)t^{2}
\end{aligned}
\]となる．ここで，定数\(\lambda\)に対して
\[
g(t) = \biggl(\frac{1}{\mathrm{D}-\lambda}\biggr)t^{2}
\]とおくと
\[
(\mathrm{D}-\lambda)g(t) = t^{2},
\quad g^{\prime}(t)-\lambda g(t) = t^{2}
\]となる．両辺に\(\mathrm{e}^{-\lambda t}\)を掛けて
\[
\begin{gathered}
(g(t)\mathrm{e}^{-\lambda t})^{\prime} = g^{\prime}(t)\mathrm{e}^{-\lambda t}-\lambda g(t)\mathrm{e}^{-\lambda t}
= t^{2}\mathrm{e}^{-\lambda t},\\
g(t)\mathrm{e}^{-\lambda t} = \int t^{2}\mathrm{e}^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t
\end{gathered}
\]繰り返し部分積分すると
\[
\begin{gathered}
\int t^{2}\mathrm{e}^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t = t^{2}\biggl(\frac{\mathrm{e}^{-\lambda t}}{-\lambda}\biggr)-2t\biggl(\frac{\mathrm{e}^{-\lambda t}}{\lambda^{2}}\biggr)+2\biggl(\frac{\mathrm{e}^{-\lambda t}}{-\lambda^{3}}\biggr)+C,\\
g(t) = \mathrm{e}^{\lambda t}\int t^{2}\mathrm{e}^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t
= -\frac{t^{2}}{\lambda}-\frac{2t}{\lambda^{2}}-\frac{2}{\lambda^{3}}+C\mathrm{e}^{-\lambda t}
\end{gathered}
\]となる（\(C\)は積分定数）．要するに
\[
\biggl(\frac{1}{\mathrm{D}-\lambda}\biggr)t^{2} = -\frac{t^{2}}{\lambda}-\frac{2t}{\lambda^{2}}-\frac{2}{\lambda^{3}}+C\mathrm{e}^{-\lambda t}
\]なので
\[
\begin{aligned}
f(t) &= \frac{1}{4}\biggl(\frac{1}{\mathrm{D}-1/3}\biggr)t^{2}-\frac{1}{4}\biggl(\frac{1}{\mathrm{D}+1}\biggr)t^{2}\\
&= \frac{1}{4}(-3t^{2}-18t-54+C_{1}\mathrm{e}^{t/3})\\
&\hphantom{{}={}}-\frac{1}{4}(t^{2}-2t+2+C_{2}\mathrm{e}^{-t})\\
&= -t^{2}-4t-14+\frac{C_{1}}{4}\mathrm{e}^{t/3}-\frac{C_{2}}{4}\mathrm{e}^{-t}
\end{aligned}
\]である．最後に，初期条件\(f(0)=0\)，\(f^{\prime}(0)=2\)から定数\(C_{1}\)，\(C_{2}\)の値を決めると
\[
f(t) = -t^{2}-4t-14+15\mathrm{e}^{t/3}-\mathrm{e}^{-t}
\]となる．この関数が微分方程式の解であることは，実際に微分方程式へと代入すれば確かめられる．

微分方程式を\(\mathrm{D}\)の計算で解くこの方法を演算子法 (operational calculus) という．考案者のヘビサイド (Oliver Heaviside, 1850–1925) は，電磁気学の基礎方程式をベクトル解析で記述した功績でも有名である．

ヘビサイドは鋭い洞察で数学を開拓した一方，厳密な理論を作ることにはあまり関心がなかった．彼は，演算子法がまだ数学的に整備されていない当時，演算子法を非難する声にこう答えた (O’Connor & Robertson, 2003)．

I do not refuse my dinner simply because I do not understand the process of digestion.
（私は消化のプロセスを知らないからといって食事をしないわけではない．）

ヘビサイドの発見からしばらくして，演算子法を数学的に説明できる理論がいくつか作られた．その一つが後述する「ミクシンスキーの演算子法」である．

［注］ 上で示した演算子法は，ヘビサイドのオリジナルと少し異なる．よりオリジナルに近いと思われる文献として（小松，1996; Lützen, 1979; 岡村，1942）をあげておく．

母関数

漸化式の演算子法を使うと，確かに数列\(\lbrace a_{n}\rbrace\)の一般項を求めることができる．しかし，途中\(\mathrm{L}\)という数でないものの分数や等比級数を計算するなど，いろいろ怪しげな計算が多い．これらの計算は，数列の母関数によって正当化できる．

［定義］ 数列\(\lbrace x_{n}\rbrace\)は，ある項より前の項がすべて\(0\)であるとする．文字\(S\)に関する式
\[
\begin{aligned}
G(\lbrace x_{n}\rbrace) &= \sum_{n=-\infty}^\infty x_{n}S^{n}\\
&= \dotsb+\frac{x_{-2}}{S^{2}}+\frac{x_{-1}}{S}+x_{0}+x_{1}S+x_{2}S^{2}+\dotsb
\end{aligned}
\]を，数列\(\lbrace x_{n}\rbrace\)の母関数 (generating function) という．

母関数の和差積商を計算できるのが重要なのであって，\(S\)に値を代入することはない．そのため，級数\(\sum x_{n}S^{n}\)が収束するかどうかは気にしなくてよい．また，この記事ではある項より前の項がすべて\(0\)である数列しか考えないことにする．

母関数の積を定義しよう．多項式と同じ気分で計算して
\[
\begin{aligned}
G(\lbrace x_{n}\rbrace)G(\lbrace y_{n}\rbrace) &= \sum_{m=-\infty}^\infty x_{m}S^{m}\sum_{n=-\infty}^\infty y_{n}S^{n}\\
&= \sum_{m=-\infty}^\infty\sum_{n=-\infty}^\infty x_{m}y_{n}S^{m+n}
\end{aligned}
\]\(k=m+n\)とおき，\(n\)を\(k-m\)に置き換えると
\[
\begin{aligned}
G(\lbrace x_{n}\rbrace)G(\lbrace y_{n}\rbrace) &= \sum_{m=-\infty}^\infty\sum_{k=-\infty}^\infty x_{m}y_{k-m}S^{k}\\
&= \sum_{k=-\infty}^\infty\Biggl(\sum_{m=-\infty}^\infty x_{m}y_{k-m}\Biggr)S^{k}
\end{aligned}
\]となる．この式で\(G(\lbrace x_{n}\rbrace)G(\lbrace y_{n}\rbrace)\)を定義するのが自然だろう．

［定義］ 母関数\(G(\lbrace x_{n}\rbrace)\)，\(G(\lbrace y_{n}\rbrace)\)の積を
\[
G(\lbrace x_{n}\rbrace)G(\lbrace y_{n}\rbrace) = G(\lbrace z_{n}\rbrace),
\quad z_{n} = \sum_{m=-\infty}^\infty x_{m}y_{n-m}
\]で定義する．

［注］ \(x_{m}\neq 0\)を満たす\(m\)の最小値を\(M\)，\(y_{n}\neq 0\)を満たす\(n\)の最小値を\(N\)とおくと
\[
\begin{aligned}
x_{m}y_{n-m} \neq 0
&\;\Longrightarrow\;(x_{m}\neq 0\;\mathrel{\textrm{and}}\;y_{n-m}\neq 0)\\
&\;\Longrightarrow\; M\leq m\leq n-N
\end{aligned}
\]なので，級数\(\sum_{m}x_{m}y_{n-m}\)に現れる\(0\)でない項の個数は有限である．また，\(n\leq M+N-1\)のとき\(z_{n}=0\)である．

続いて\(G(\lbrace x_{n}\rbrace)\)の “逆数”，すなわち，\(G(\lbrace x_{n}\rbrace)G(\lbrace y_{n}\rbrace)=1\)を満たす母関数\(G(\lbrace y_{n}\rbrace)\)を求める．数列\(\lbrace x_{n}\rbrace\)に\(0\)でない項があるとき，\(x_{n}\neq 0\)である\(n\)の最小値を\(N\)とおくと
\[
\begin{aligned}
G(\lbrace x_{n}\rbrace) &= x_{N}S^{N}+\sum_{k=1}^\infty x_{N+k}S^{N+k}\\
&= x_{N}S^{N}\Biggl(1+\frac{1}{x_{N}}\sum_{k=1}^\infty x_{N+k}S^{k}\Biggr)
\end{aligned}
\]である．よって，等比級数の和の公式より，逆数\(G(\lbrace y_{n}\rbrace)\)は
\[
\begin{aligned}
&G(\lbrace y_{n}\rbrace)\\
&= \frac{1}{x_{N}S^{N}}\Bigg/\Biggl(1+\frac{1}{x_{N}}\sum_{k=1}^\infty x_{N+k}S^{k}\Biggr)\\
&= \frac{S^{-N}}{x_{N}}\sum_{n=0}^\infty\Biggl(-\frac{1}{x_{N}}\sum_{k=1}^\infty x_{N+k}S^{k}\Biggr)^{n}\\
&= \frac{S^{-N}}{x_{N}}\biggl(1-\frac{x_{N+1}}{x_{N}}S+\biggl(-\frac{x_{N+2}}{x_{N}}+\frac{x_{N+1}^{2}}{x_{N}^{2}}\biggr)S^{2}+\dotsb\biggr)
\end{aligned}
\]となるだろう．実際に\(G(\lbrace x_{n}\rbrace)G(\lbrace y_{n}\rbrace)\)を計算すると
\[
\begin{aligned}
&G(\lbrace x_{n}\rbrace)G(\lbrace y_{n}\rbrace)\\
&= \biggl(G(\lbrace x_{n}\rbrace)\frac{1}{x_{N}}S^{-N}\biggr)S^{N}x_{N}G(\lbrace y_{n}\rbrace)\\
&= \biggl(1+\frac{x_{N+1}}{x_{N}}S+\frac{x_{N+2}}{x_{N}}S^{2}+\dotsb\biggr)\\
&\hphantom{{}={}}\times\biggl(1-\frac{x_{N+1}}{x_{N}}S+\biggl(-\frac{x_{N+2}}{x_{N}}+\frac{x_{N+1}^{2}}{x_{N}^{2}}\biggr)S^{2}+\dotsb\biggr)\\
&= 1+0S+0S^{2}+\dotsb
\end{aligned}
\]となるので，確かに\(G(\lbrace y_{n}\rbrace)\)は\(G(\lbrace x_{n}\rbrace)\)の逆数になっている．つまり，数列\(\lbrace x_{n}\rbrace\)に\(0\)でない項があれば，母関数\(G(\lbrace x_{n}\rbrace)\)は逆数を持つ．

［例］ 数列\(\lbrace u_{n}\rbrace\)を\(n\geq 0\)のとき\(u_{n}=1\)，\(n\leq -1\)のとき\(u_{n}=0\)で定義する．このとき
\[
\begin{gathered}
G(\lbrace u_{n}\rbrace) = \sum_{n=-\infty}^\infty u_{n}S^{n}
= \sum_{n=0}^\infty S^{n}
= \frac{1}{1-S},\\
G(\lbrace 3^{n}u_{n}\rbrace) = \sum_{n=-\infty}^\infty 3^{n}u_{n}S^{n}
= \sum_{n=0}^\infty(3S)^{n}
= \frac{1}{1-3S}
\end{gathered}
\]である．

母関数による解法

数列\(\lbrace a_{n}\rbrace\)の一般項を母関数から求めよう．まず，演算子\(\mathrm{L}\)をふたたび定義する．

［定義］ 数列\(\lbrace x_{n}\rbrace\)を数列\(\lbrace x_{n-1}\rbrace\)に写す変換\(\mathrm{L}\)をラグ演算子 (lag operator) という．すなわち，ラグ演算子とは条件
\[
\begin{aligned}
&\lbrace y_{n}\rbrace = \mathop{\vphantom{}\mathrm{L}}\lbrace x_{n}\rbrace\\
&\iff(y_{n} = x_{n-1}\mskip12mu\textrm{for all}\mskip6mu n=0,\pm 1,\pm 2,\dotsc)
\end{aligned}
\]を満たす変換\(\mathrm{L}\)のことである．

［命題］ \(G(\lbrace x_{n-k}\rbrace)=S^{k}G(\lbrace x_{n}\rbrace)\)である．

［証明］ 実際に\(S^{k}G(\lbrace x_{n}\rbrace)\)を計算すると
\[
\begin{aligned}
S^{k}G(\lbrace x_{n}\rbrace) &= \sum_{n=-\infty}^\infty x_{n}S^{n+k}\\
&= \sum_{m=-\infty}^\infty x_{m-k}S^{m}\quad(m=n+k)\\
&= G(\lbrace x_{n-k}\rbrace)
\end{aligned}
\]となる．［証明終］

式\(G(\lbrace x_{n-k}\rbrace)=S^{k}G(\lbrace x_{n}\rbrace)\)は
\[
G(\mathop{\vphantom{}\mathrm{L}^{k}}\lbrace x_{n}\rbrace) = S^{k}G(\lbrace x_{n}\rbrace)
\]とも表せる．つまり，母関数の計算において\(\mathrm{L}\)は\(S\)に置き換えられる．この事実をうまく使うと，\(\mathrm{L}\)の計算を\(S\)の計算に移しかえて，冒頭の解答を母関数のことばで書き直せる．

\(a_{n}=2a_{n-1}+3a_{n-2}+c_{n}\)なので，母関数について式
\[
G(\lbrace a_{n}\rbrace) = 2G(\lbrace a_{n-1}\rbrace)+3G(\lbrace a_{n-2}\rbrace)+G(\lbrace c_{n}\rbrace)
\]が成り立つ．\(G(\lbrace a_{n-k}\rbrace)=S^{k}G(\lbrace a_{n}\rbrace)\)なので
\[
G(\lbrace a_{n}\rbrace) = 2SG(\lbrace a_{n}\rbrace)+3S^{2}G(\lbrace a_{n}\rbrace)+G(\lbrace c_{n}\rbrace)
\]である．ここで
\[
G(\lbrace h_{n}\rbrace) = \frac{G(\lbrace a_{n}\rbrace)}{G(\lbrace c_{n}\rbrace)}
= \frac{1}{1-2S-3S^{2}}
\]とおくと，冒頭の計算から
\[
\begin{gathered}
G(\lbrace h_{n}\rbrace) = \sum_{n=0}^\infty\biggl(\frac{3}{4}\cdot 3^{n}+\frac{1}{4}(-1)^{n}\biggr)S^{n},\\
h_{n} = \biggl(\frac{3}{4}\cdot 3^{n}+\frac{1}{4}(-1)^{n}\biggr)u_{n}
\end{gathered}
\]である．よって，\(G(\lbrace a_{n}\rbrace)=G(\lbrace c_{n}\rbrace)G(\lbrace h_{n}\rbrace)\)より
\[
\begin{gathered}
G(\lbrace a_{n}\rbrace) = \sum_{n=-\infty}^\infty\Biggl(\sum_{m=-\infty}^\infty c_{m}h_{n-m}\Biggr)S^{n},\\
\begin{aligned}
a_{n} &= \sum_{m=-\infty}^\infty c_{m}h_{n-m}
= c_{0}h_{n}+c_{1}h_{n-1}\\
&= \frac{3c_{0}+c_{1}}{4}\cdot 3^{n}+\frac{c_{0}-c_{1}}{4}(-1)^{n}
\end{aligned}
\end{gathered}
\]である．最後に\(c_{0}=1\)，\(c_{1}=-1\)を代入すると
\[
a_{n} = \frac{3^{n}+(-1)^{n}}{2}
\]となる．

畳み込み

我々は母関数の積\(G(\lbrace x_{n}\rbrace)G(\lbrace y_{n}\rbrace)\)を，一般項が
\[
z_{n}=\sum_{m=-\infty}^\infty x_{m}y_{n-m}
\]である数列\(\lbrace z_{n}\rbrace\)の母関数と定義した．数列\(\lbrace z_{n}\rbrace\)を\(\lbrace x_{n}\rbrace\)と\(\lbrace y_{n}\rbrace\)の畳み込み (convolution) といい
\[
\lbrace z_{n}\rbrace = \lbrace x_{n}\rbrace\ast\lbrace y_{n}\rbrace
\]と表す．

母関数の積を計算するのは，数列の畳み込みを計算するのと同じことである．ということは，母関数を用いたさきほどの解答を，数列の畳み込みを使って書き直せるはずだ．試しにやってみよう．

畳み込みは数の掛け算とよく似た性質を持っている．畳み込みは以下の3法則をすべて満たす．

\(\lbrace x_{n}\rbrace\ast\lbrace y_{n}\rbrace=\lbrace y_{n}\rbrace\ast\lbrace x_{n}\rbrace\)（交換法則）
\((\lbrace x_{n}\rbrace\ast\lbrace y_{n}\rbrace)\ast\lbrace z_{n}\rbrace=\lbrace x_{n}\rbrace\ast(\lbrace y_{n}\rbrace\ast\lbrace z_{n}\rbrace)\)（結合法則）
\(\lbrace x_{n}\rbrace\ast(\lbrace y_{n}\rbrace+\lbrace z_{n}\rbrace)=(\lbrace x_{n}\rbrace\ast\lbrace y_{n}\rbrace)+(\lbrace x_{n}\rbrace\ast\lbrace z_{n}\rbrace)\)（分配法則）

ただし，数列の和は\(\lbrace x_{n}\rbrace+\lbrace y_{n}\rbrace=\lbrace x_{n}+y_{n}\rbrace\)で定義する．畳み込みが上記の法則を満たすことは，母関数との関係
\[
G(\lbrace x_{n}\rbrace\ast\lbrace y_{n}\rbrace) = G(\lbrace x_{n}\rbrace)G(\lbrace y_{n}\rbrace)
\]から，直感的には明らかだろう．

また，数列\(\lbrace\delta_{n}\rbrace\)を
\[
\delta_{n} = \begin{cases}1 & (n=0),\\ 0 & (n\neq 0)\end{cases}
\]で定義すると，数列\(\lbrace\delta_{n}\rbrace\ast\lbrace x_{n}\rbrace\)の一般項は
\[
\begin{aligned}
&\sum_{m=-\infty}^\infty\delta_{m}x_{n-m}\\
&= \dotsb+\delta_{-1}x_{n+1}+\delta_{0}x_{n}+\delta_{1}x_{n-1}+\dotsb\\
&= x_{n}
\end{aligned}
\]となる．つまり\(\lbrace\delta_{n}\rbrace\ast\lbrace x_{n}\rbrace=\lbrace x_{n}\rbrace\)である．\(\lbrace\delta_{n}\rbrace\)が持つこの性質は，数の掛け算が持つ性質\(1\cdot x=x\)によく似ているので，そのことを意識して
\[
\lbrack 1\rbrack = \lbrace\delta_{n}\rbrace
\]とおく．

母関数と同じく，畳み込みについても “逆数” を定義できる．数列\(\lbrace x_{n}\rbrace\)に\(0\)でない項があるとき，\(G(\lbrace x_{n}\rbrace)\)は逆数\(G(\lbrace y_{n}\rbrace)\)を持つ．数列\(\lbrace y_{n}\rbrace\)は
\[
\begin{gathered}
G(\lbrace x_{n}\rbrace\ast\lbrace y_{n}\rbrace) = G(\lbrace x_{n}\rbrace)G(\lbrace y_{n}\rbrace)
= 1
= G(\lbrack 1\rbrack),\\
\lbrace x_{n}\rbrace\ast\lbrace y_{n}\rbrace = \lbrack 1\rbrack
\end{gathered}
\]を満たすから，\(\lbrace y_{n}\rbrace\)が\(\lbrace x_{n}\rbrace\)の逆数に相当する．以降\(\lbrace y_{n}\rbrace\)を
\[
\lbrace y_{n}\rbrace = \lbrace x_{n}\rbrace^{-1}
= \frac{\lbrack 1\rbrack}{\lbrace x_{n}\rbrace}
\]と書く．

［注］ 細かいことをいうと，我々は母関数の積を畳み込みで定義したので，証明に母関数を使うと循環論法に陥る危険がある．とはいえ，畳み込みの定義に基づき一つ一つ証明するのはめんどうだから，認めてしまって先を急ぐことにする．

畳み込みによる解法

数列\(\lbrace a_{n}\rbrace\)の一般項を畳み込みから求めよう．以下では，\(\lbrace x_{n}\rbrace\ast\lbrace y_{n}\rbrace\)を単に\(\lbrace x_{n}\rbrace\lbrace y_{n}\rbrace\)と書いて，畳み込みのべき乗を
\[
\lbrace x_{n}\rbrace^{k} = \underbrace{\lbrace x_{n}\rbrace\ast\lbrace x_{n}\rbrace\ast\dotsb\ast\lbrace x_{n}\rbrace}_{k\ \textrm{times}}
\]のように指数で表す．

［命題］ \(\lbrace\lambda\delta_{n}\rbrace\lbrace x_{n}\rbrace=\lbrace\lambda x_{n}\rbrace\)，\(\lbrace\delta_{n-1}\rbrace\lbrace x_{n}\rbrace=\lbrace x_{n-1}\rbrace\)である．ただし，\(\lambda\)は定数とする．

［証明］ いずれも\(\lbrace\delta_{n}\rbrace\lbrace x_{n}\rbrace=\lbrace x_{n}\rbrace\)と同様に示せる．［証明終］

上の命題から，\(\lbrack\lambda\rbrack=\lbrace\lambda\delta_{n}\rbrace\)，\(s=\lbrace\delta_{n-1}\rbrace\)とおくと
\[
\lbrack\lambda\rbrack\lbrace x_{n}\rbrace = \lbrace\lambda x_{n}\rbrace,
\quad s\lbrace x_{n}\rbrace = \lbrace x_{n-1}\rbrace
\]である．よって，\(a_{n}=2a_{n-1}+3a_{n-2}+c_{n}\)より
\[
\begin{gathered}
\lbrace a_{n}\rbrace = \lbrack 2\rbrack s\lbrace a_{n}\rbrace+\lbrack 3\rbrack s^{2}\lbrace a_{n}\rbrace+\lbrace c_{n}\rbrace,\\
(\lbrack 1\rbrack-\lbrack 2\rbrack s-\lbrack 3\rbrack s^{2})\lbrace a_{n}\rbrace = \lbrace c_{n}\rbrace,\\
\begin{aligned}
\lbrace a_{n}\rbrace &= \biggl(\frac{\lbrack 1\rbrack}{\lbrack 1\rbrack-\lbrack 2\rbrack s-\lbrack 3\rbrack s^{2}}\biggr)\lbrace c_{n}\rbrace\\
&= \biggl\lbrack\frac{1}{4}\biggr\rbrack\biggl(\frac{\lbrack 3\rbrack}{\lbrack 1\rbrack-\lbrack 3\rbrack s}+\frac{\lbrack 1\rbrack}{\lbrack 1\rbrack +s}\biggr)\lbrace c_{n}\rbrace
\end{aligned}
\end{gathered}
\]である．

ところで，我々は母関数に関して
\[
G(\lbrace 3^{n}u_{n}\rbrace) = \frac{1}{1-3S},
\quad G(\lbrace 3^{n}u_{n}\rbrace)(1-3S) = 1
\]という式が成り立つことを見た．母関数の積は数列の畳み込みと同等なので
\[
\lbrace 3^{n}u_{n}\rbrace = \frac{\lbrack 1\rbrack}{\lbrack 1\rbrack-\lbrack 3\rbrack s},
\quad\lbrace 3^{n}u_{n}\rbrace(\lbrack 1\rbrack-\lbrack 3\rbrack s) = \lbrack 1\rbrack
\]が成り立つと予想できる．数列\(\lbrace 3^{n}u_{n}\rbrace(\lbrack 1\rbrack-\lbrack 3\rbrack s)\)の一般項を実際に計算すると
\[
\begin{aligned}
&\sum_{m=-\infty}^\infty 3^{m}u_{m}(\delta_{n-m}-3\delta_{n-m-1})\\
&= \Biggl(\sum_{m=-\infty}^\infty 3^{m}u_{m}\delta_{n-m}\Biggr)-3\sum_{m=-\infty}^\infty 3^{m}u_{m}\delta_{(n-1)-m}\\
&= 3^{n}u_{n}-3\cdot 3^{n-1}u_{n-1}\\
&= 3^{n}(u_{n}-u_{n-1})
\end{aligned}
\]であり，\(3^{n}(u_{n}-u_{n-1})=3^{n}\delta_{n}=\delta_{n}\)だから，確かに\(\lbrace 3^{n}u_{n}\rbrace(\lbrack 1\rbrack-\lbrack 3\rbrack s)=\lbrack 1\rbrack\)が成り立つ．同様に
\[
\lbrace(-1)^{n}u_{n}\rbrace = \frac{\lbrack 1\rbrack}{\lbrack 1\rbrack+s},
\quad\lbrace(-1)^{n}u_{n}\rbrace(\lbrack 1\rbrack+s) = \lbrack 1\rbrack
\]も成立する．よって
\[
\begin{gathered}
\begin{aligned}
\lbrace a_{n}\rbrace &= \biggl\lbrack\frac{1}{4}\biggr\rbrack(\lbrack 3\rbrack\lbrace 3^{n}u_{n}\rbrace+\lbrace(-1)^{n}u_{n}\rbrace)\lbrace c_{n}\rbrace\\
&= \biggl\lbrace\biggl(\frac{3}{4}\cdot 3^{n}+\frac{1}{4}(-1)^{n}\biggr)u_{n}\biggr\rbrace\lbrace c_{n}\rbrace,
\end{aligned}\\
a_{n} = \sum_{m=0}^\infty\biggl(\frac{3}{4}\cdot 3^{m}+\frac{1}{4}(-1)^{m}\biggr)c_{n-m}
\end{gathered}
\]であり，この式を計算すると，すでに見た通り
\[
a_{n} = \frac{3^{n}+(-1)^{n}}{2}
\]が得られる．

ミクシンスキーの演算子法

前節までで，漸化式の演算子法は数列の畳み込みにより説明できることが分かった．この節では，関数の畳み込みからヘビサイドの演算子法に数学的な裏づけを与える．

区間\(\lbrack 0,+\infty)\)で定義される連続関数の全体集合を\(\mathcal{C}\)とおく．\(\mathcal{C}\)に属する関数は虚数の値をとってもよい．虚数の値をとる関数になじみがないようなら，\(\mathcal{C}\)に実数値関数しか属さないという制限を加えても，この記事の内容には影響しない．

［定義］ 関数\(x\)と\(y\)は\(\mathcal{C}\)に属するとする．式
\[
z(t) = \int_{0}^{t}x(\tau)y(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau\quad(t\geq 0)
\]で定義される関数\(z\)を，\(x\)と\(y\)の畳み込み (convolution) といい
\[
z = x\ast y
\]と表す．

関数の畳み込みは，数列の畳み込みによく似た性質を持つ．まず，\(\mathcal{C}\)に属する関数の畳み込みは\(\mathcal{C}\)に属する．さらに，畳み込みは以下の3法則をすべて満たす（証明は本稿末尾に回す）．

\(x\ast y=y\ast x\)（交換法則）
\((x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z)\)（結合法則）
\(x\ast(y+z)=(x\ast y)+(x\ast z)\)（分配法則）

しかし，数列\(\lbrace\delta_{n}\rbrace\)に相当する関数は存在しない．

［命題］ \(\mathcal{C}\)に属する関数\(\delta\)で，\(\mathcal{C}\)に属するすべての関数\(x\)について\(\delta\ast x=x\)を満たすものは存在しない．

［証明］ 関数\(\delta\)が存在すると仮定する．このとき，定数関数\(u(t)=1\)について
\[
\begin{gathered}
\int_{0}^{t}\delta(\tau)\,\mathrm{d}\tau = (\delta\ast u)(t)
= 1,\\
\delta(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{0}^{t}\delta(\tau)\,\mathrm{d}\tau
= 0\quad(t\gt 0)
\end{gathered}
\]となるので，\(\delta\)は定数関数\(0\)である．しかし，これは\((\delta\ast u)(t)=1\)に矛盾する．［証明終］

［注］ 実は「すべての連続関数\(x\)について
\[
\int\delta(\tau)x(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau = x(t)
\]である」という条件を満たす関数\(\delta\)は，不連続関数の集合の中にも存在しない．この仮想的な “関数” \(\delta\)をデルタ関数 (delta function) という．

Lützen (1982) によれば，19世紀にはすでに複数の数学者と物理学者――その中にはヘビサイドも含まれる――が，デルタ関数に相当するものを考えていた．この “関数” をデルタ関数と呼び始めたのは，物理学者ディラック (Paul Dirac, 1902–1984) である．ディラックは，この仮想的な関数に\(\delta(x)\)という記号を割り当てて，量子力学へと応用した．このように，デルタ関数はさまざまな分野で古くから利用されていたが，その数学的正当化はシュワルツ (Laurent Schwartz, 1915–2002) による超関数論の発展を待たねばならなかった．

もし関数\(\delta\)が存在すれば，関数\(x\)の “逆数” \(y\)を，数列のときと同様\(x\ast y=\delta\)を満たす関数として定義できた．だが，上の命題から\(\delta\)は存在しないので，このままでは逆数が定義できない．

しかし，諦めるにはまだ早い．たとえば，整数の全体集合\(\mathbb{Z}\)において，\(2\)の逆数は\(1/2\)であり，\(\mathbb{Z}\)に属さない．けれども，有理数の全体集合\(\mathbb{Q}\)には属している．そして，\(0\)でない有理数はすべて逆数を持ち，逆数も有理数である．つまり，考える全体集合を\(\mathbb{Z}\)から\(\mathbb{Q}\)に広げれば，逆数がいつでも全体集合に属するようにできる．

有理数とは整数の比で表せる数であった．実は，有理数の定義と同じようにして，畳み込みについても “分数” を定義できる．それを保証するのが，次のティッチマーシュの定理である．

［定理］ 関数\(x\)と\(y\)が\(\mathcal{C}\)に属するとき，\(x\ast y\)が定数関数\(0\)ならば，\(x\)と\(y\)の少なくとも一方が定数関数\(0\)である．すなわち
\[
x\ast y = 0
\;\Longrightarrow\;(x=0\;\mathrel{\textrm{or}}\;y=0)
\]が成り立つ．これをティッチマーシュの定理 (Titchmarsh theorem) という．

［証明］ 長くなるので割愛する．気になる方には (Mikusiński, 1953a; Mikusiński & Ryll‐Nardzewski, 1953; Mikusiński, 1953b) と (Doss, 1988) をおすすめする．［証明終］

有理数の定義をまねて，畳み込みに関して「比が同等である」という関係を定義する．

［定義］ 関数\(x\)，\(y\)，\(z\)，\(w\)はすべて\(\mathcal{C}\)に属し，さらに\(y\)と\(w\)は定数関数\(0\)でないとする．これらの関数が条件\(x\ast w=z\ast y\)を満たすとき，それを\(x:y\approx z:w\)と表す．すなわち
\[
\begin{aligned}
&x:y \approx z:w\\
&\iff(y\neq 0\;\mathrel{\textrm{and}}\;w\neq 0\;\mathrel{\textrm{and}}\;x\ast w=z\ast y)
\end{aligned}
\]とする．

整数の比に関する事実
\[
\frac{k}{l} = \frac{m}{n}
\iff(l\neq 0\;\mathrel{\textrm{and}}\;m\neq 0\;\mathrel{\textrm{and}}\;kn=ml)
\]と見比べると，この定義が自然に見えるだろう．続いて，条件
\[
\frac{x}{y} = \frac{z}{w}
\iff x:y \approx z:w
\]を満たすように “分数” \(x/y\)が定義できることを証明する．

［命題］ 以下の命題が成立する．

\(x:y\approx x:y\)（反射律）
\(x_{1}:y_{1}\approx x_{2}:y_{2}\;\Longrightarrow\; x_{2}:y_{2}\approx x_{1}:y_{1}\)（対称律）
\((x_{1}:y_{1}\approx x_{2}:y_{2}\;\mathrel{\textrm{and}}\;x_{2}:y_{2}\approx x_{3}:y_{3})\;\Longrightarrow\; x_{1}:y_{1}\approx x_{3}:y_{3}\)（推移律）

［証明］ 3つめだけ証明する．\(x_{1}:y_{1}\approx x_{2}:y_{2}\)かつ\(x_{2}:y_{2}\approx x_{3}:y_{3}\)とする．このとき
\[
\begin{gathered}
x_{1}\ast y_{3}\ast y_{2} = (x_{1}\ast y_{2})\ast y_{3}
\stackrel{!}{=} (x_{2}\ast y_{1})\ast y_{3},\\
x_{3}\ast y_{1}\ast y_{2} = (x_{3}\ast y_{2})\ast y_{1}
\stackrel{!}{=} (x_{2}\ast y_{3})\ast y_{1}
\end{gathered}
\]である（\(\stackrel{!}{=}\)で仮定を使った）．よって
\[
\begin{gathered}
x_{1}\ast y_{3}\ast y_{2} = x_{3}\ast y_{1}\ast y_{2},\\
(x_{1}\ast y_{3}-x_{3}\ast y_{1})\ast y_{2} = 0
\end{gathered}
\]だから，ティッチマーシュの定理より
\[
x_{1}\ast y_{3} = x_{3}\ast y_{1},
\quad x_{1}:y_{1} \approx x_{3}:y_{3}
\]である．［証明終］

この命題から「分数\(x/y\)は条件
\[
\frac{x}{y} = \frac{z}{w}
\iff x:y \approx z:w
\]を満たすものである」と定義しても矛盾しないことが分かる．数学者ミクシンスキー (Jan Mikusiński, 1913–1987) は，畳み込みに関する分数で表されるもののことを演算子 (operator) と呼んだ．演算子の和と積を次のように定義する．

［定義］ 演算子\(\phi_{1}\)，\(\phi_{2}\)がそれぞれ\(\phi_{1}=x_{1}/y_{1}\)，\(\phi_{2}=x_{2}/y_{2}\)と表せるとき，和と積を
\[
\phi_{1}+\phi_{2} = \frac{(x_{1}\ast y_{2})+(x_{2}\ast y_{1})}{y_{1}\ast y_{2}},
\quad\phi_{1}\phi_{2} = \frac{x_{1}\ast x_{2}}{y_{1}\ast y_{2}}
\]で定義する．

［注］ 有理数について\(1/2=2/4=3/6=\dotsb\)であったように，分数が演算子\(\phi_{n}\)と等しくなる分子・分母の組は無数にある．しかし，どの組を選んでも定義式の右辺は同じ演算子になることが証明できる．

演算子の全体集合を\(\mathcal{M}\)とおく．整数の集合\(\mathbb{Z}\)においては存在しなかった逆数が，有理数の集合\(\mathbb{Q}\)では存在するように，関数の集合\(\mathcal{C}\)では存在しなかった逆数が，演算子の集合\(\mathcal{M}\)では存在する．

以下では数列をまねて，関数\(x\)を\(\lbrace x(t)\rbrace\)とも表す．たとえば，\(t\)の関数\(t^{2}\)を\(\lbrace t^{2}\rbrace\)，定数関数\(1\)を\(\lbrace 1\rbrace\)と書く．演算子\(\lbrack 1\rbrack\)を
\[
\lbrack 1\rbrack = \frac{\lbrace 1\rbrace}{\lbrace 1\rbrace}
\]で定義すると，演算子\(\phi=\lbrace x(t)\rbrace/\lbrace y(t)\rbrace\)について
\[
\lbrack 1\rbrack\phi = \frac{\lbrace 1\rbrace\ast\lbrace x(t)\rbrace}{\lbrace 1\rbrace\ast\lbrace y(t)\rbrace}
= \frac{\lbrace x(t)\rbrace}{\lbrace y(t)\rbrace}
= \phi
\]となる．つまり\(\lbrack 1\rbrack\phi=\phi\)なので，演算子\(\lbrack 1\rbrack\)が関数\(\delta\)に相当する．

また，\(\mathcal{C}\)に属するすべての関数\(\lbrace x(t)\rbrace\)は，演算子
\[
\frac{\lbrace x(t)\rbrace\ast\lbrace 1\rbrace}{\lbrace 1\rbrace}
\]を\(\lbrace x(t)\rbrace\)と同一視することで演算子とみなせる（つまり\(\mathcal{C}\subset\mathcal{M}\)と思ってよい）．すると，\(\lbrace x(t)\rbrace\neq\lbrace 0\rbrace\)なら
\[
\begin{aligned}
\lbrace x(t)\rbrace\biggl(\frac{\lbrace 1\rbrace}{\lbrace x(t)\rbrace\ast\lbrace 1\rbrace}\biggr) &= \biggl(\frac{\lbrace x(t)\rbrace\ast\lbrace 1\rbrace}{\lbrace 1\rbrace}\biggr)\biggl(\frac{\lbrace 1\rbrace}{\lbrace x(t)\rbrace\ast\lbrace 1\rbrace}\biggr)\\
&= \lbrack 1\rbrack
\end{aligned}
\]だから，演算子\(\lbrace 1\rbrace/(\lbrace x(t)\rbrace\ast\lbrace 1\rbrace)\)が\(\lbrace x(t)\rbrace\)の “逆数” になっている．このような場合，演算子を分子・分母に置いて
\[
\frac{\lbrace 1\rbrace}{\lbrace x(t)\rbrace\ast\lbrace 1\rbrace} = \lbrace x(t)\rbrace^{-1}
= \frac{\lbrack 1\rbrack}{\lbrace x(t)\rbrace}
\]と書く．同様にして，\(\lbrack 0\rbrack=\lbrace 0\rbrace/\lbrace 1\rbrace\)以外の演算子は逆数を持つことが示せる．

［注］ なんらかの演算を備える集合を代数系 (algebraic system) という．特に，四則演算が可能な代数系を体 (field) といい，分数によって作られる，分子の代数系から拡張された体のことを分数体 (field of fractions) という．詳細は（Lang, 2002; 雪江，2010）などを参照してほしい．上記の手続きは，分子の代数系が擬環 (rng) という少し特殊なものであることを除いて，多くの文献に載っている分数体の構成とほぼ同じである．

重要な演算子を2種類あげる．

［例］ 定数\(\lambda\)に対して\(\lbrack\lambda\rbrack=\lbrace\lambda\rbrace/\lbrace 1\rbrace\)とおく．このとき
\[
\begin{gathered}
\lbrace x(t)\rbrace\lbrace\lambda\rbrace = \biggl\lbrace\int_{0}^{t}\lambda x(\tau)\,\mathrm{d}\tau\biggr\rbrace
= \lbrace\lambda x(t)\rbrace\lbrace 1\rbrace,\\
\lbrace x(t)\rbrace\lbrack\lambda\rbrack = \lbrace\lambda x(t)\rbrace
\end{gathered}
\]なので\(\lbrack\lambda\rbrack\lbrace x(t)\rbrace=\lbrace\lambda x(t)\rbrace\)である．つまり，\(\lbrack\lambda\rbrack\)は関数を\(\lambda\)倍する演算子とみなせる．

［例］ \(s=\lbrace 1\rbrace^{-1}\)とおく．\(\mathcal{C}\)に属する関数\(\lbrace x(t)\rbrace\)について，導関数\(\lbrace x^{\prime}(t)\rbrace\)も\(\mathcal{C}\)に属するとき
\[
\begin{gathered}
\lbrace x^{\prime}(t)\rbrace\lbrace 1\rbrace = \biggl\lbrace\int_{0}^{t}x^{\prime}(\tau)\,\mathrm{d}\tau\biggr\rbrace
= \lbrace x(t)-x(0)\rbrace,\\
\lbrace x^{\prime}(t)\rbrace = \frac{\lbrace x(t)\rbrace-\lbrace x(0)\rbrace}{\lbrace 1\rbrace}
= s\lbrace x(t)\rbrace-\lbrack x(0)\rbrack
\end{gathered}
\]である．したがって，\(x(0)=0\)のときは\(s\)を微分演算子とみなせる．

これらの演算子を使うと，微分方程式を演算子に関する方程式へと書き換えて，ヘビサイドの演算子法とよく似た手続きで解ける．こうしてミクシンスキーにより正当化された演算子法をミクシンスキーの演算子法 (Mikusiński’s operational calculus) という．

ミクシンスキーの演算子法による解法

ミクシンスキーの演算子法で微分方程式
\[
\begin{cases}
3f^{\prime\prime}(t)+2f^{\prime}(t)-f(t) = t^{2},\\
f(0) = 0\;\mathrel{\textrm{and}}\;f^{\prime}(0) = 2
\end{cases}
\]を解こう．

［命題］ \((s-[\lambda])^{-1}=\lbrace\mathrm{e}^{\lambda t}\rbrace\)である．ただし，\(\lambda\)は定数とする．

［証明］ 実際
\[
\begin{aligned}
&(\lbrack\lambda\rbrack\lbrace\mathrm{e}^{\lambda t}\rbrace+\lbrack 1\rbrack)\lbrace 1\rbrace\\
&= \lbrace\lambda\mathrm{e}^{\lambda t}\rbrace\lbrace 1\rbrace+\lbrace 1\rbrace
= \biggl\lbrace\int_{0}^{t}\lambda\mathrm{e}^{\lambda\tau}\,\mathrm{d}\tau\biggr\rbrace+\lbrace 1\rbrace\\
&= \lbrace\mathrm{e}^{\lambda t}\rbrace
\end{aligned}
\]なので，両辺に\(s=\lbrace 1\rbrace^{-1}\)を掛けると
\[
\lbrack\lambda\rbrack\lbrace\mathrm{e}^{\lambda t}\rbrace+\lbrack 1\rbrack = s\lbrace\mathrm{e}^{\lambda t}\rbrace,
\quad(s-\lbrack\lambda\rbrack)\lbrace\mathrm{e}^{\lambda t}\rbrace = \lbrack 1\rbrack
\]となる．よって\((s-[\lambda])^{-1}=\lbrace\mathrm{e}^{\lambda t}\rbrace\)である．［証明終］

まず，式\(\lbrace x^{\prime}(t)\rbrace=s\lbrace x(t)\rbrace-\lbrack x(0)\rbrack\)と初期条件\(f(0)=0\)，\(f^{\prime}(0)=2\)から
\[
\begin{gathered}
\lbrace f^{\prime}(t)\rbrace = s\lbrace f(t)\rbrace,\\
\lbrace f^{\prime\prime}(t)\rbrace = s\lbrace f^{\prime}(t)\rbrace-\lbrack f^{\prime}(0)\rbrack
= s^{2}\lbrace f(t)\rbrace-\lbrack 2\rbrack
\end{gathered}
\]である．この式によって，微分方程式を演算子に関する方程式に書き換えると
\[
\begin{gathered}
\lbrack 3\rbrack(s^{2}\lbrace f(t)\rbrace-\lbrack 2\rbrack)-\lbrack 2\rbrack s\lbrace f(t)\rbrace-\lbrace f(t)\rbrace = \lbrace t^{2}\rbrace,\\
(\lbrack 3\rbrack s^{2}-\lbrack 2\rbrack s-\lbrack 1\rbrack)\lbrace f(t)\rbrace = \lbrace t^{2}\rbrace+\lbrack 6\rbrack
\end{gathered}
\]となる．よって
\[
\lbrace f(t)\rbrace = \frac{\lbrace t^{2}\rbrace+\lbrack 6\rbrack}{\lbrack 3\rbrack s^{2}-\lbrack 2\rbrack s-\lbrack 1\rbrack}
\]である．

ここで，式\((s-[\lambda])^{-1}=\lbrace\mathrm{e}^{\lambda t}\rbrace\)より
\[
\begin{aligned}
\frac{\lbrack 1\rbrack}{\lbrack 3\rbrack s^{2}-\lbrack 2\rbrack s-\lbrack 1\rbrack} &= \biggl\lbrack\frac{1}{4}\biggr\rbrack\biggl(\frac{\lbrack 1\rbrack}{s-\lbrack 1/3\rbrack}-\frac{\lbrack 1\rbrack}{s+\lbrack 1\rbrack}\biggr)\\
&= \biggl\lbrace\frac{\mathrm{e}^{t/3}}{4}\biggr\rbrace-\biggl\lbrace\frac{\mathrm{e}^{-t}}{4}\biggr\rbrace
\end{aligned}
\]なので
\[
\begin{aligned}
\lbrace f(t)\rbrace &= (\lbrace t^{2}\rbrace+\lbrack 6\rbrack)\biggl\lbrace\frac{\mathrm{e}^{t/3}}{4}-\frac{\mathrm{e}^{-t}}{4}\biggr\rbrace\\
&= \biggl\lbrace\int_{0}^{t}\tau^{2}\biggl(\frac{\mathrm{e}^{(t-\tau)/3}}{4}-\frac{\mathrm{e}^{-(t-\tau)}}{4}\biggr)\,\mathrm{d}\tau\biggr\rbrace\\
&\hphantom{{}={}}+\biggl\lbrace\frac{3}{2}\mathrm{e}^{t/3}-\frac{3}{2}\mathrm{e}^{-t}\biggr\rbrace
\end{aligned}
\]である．

あとは積分を計算するだけで答えが出る．不定積分
\[
\int t^{2}\mathrm{e}^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t = t^{2}\biggl(\frac{\mathrm{e}^{-\lambda t}}{-\lambda}\biggr)-2t\biggl(\frac{\mathrm{e}^{-\lambda t}}{\lambda^{2}}\biggr)+2\biggl(\frac{\mathrm{e}^{-\lambda t}}{-\lambda^{3}}\biggr)+C
\]より
\[
\int_{0}^{t}\tau^{2}\mathrm{e}^{\lambda(t-\tau)}\,\mathrm{d}\tau = \mathrm{e}^{\lambda t}\int_{0}^{t}\tau^{2}\mathrm{e}^{-\lambda\tau}\,\mathrm{d}\tau
= -\frac{t^{2}}{\lambda}-\frac{2t}{\lambda^{2}}-\frac{2}{\lambda^{3}}+\frac{2}{\lambda^{3}}\mathrm{e}^{\lambda t}
\]だから
\[
\begin{aligned}
f(t) &= \frac{1}{4}\int_{0}^{t}\tau^{2}\mathrm{e}^{(t-\tau)/3}\,\mathrm{d}\tau-\frac{1}{4}\int_{0}^{t}\tau^{2}\mathrm{e}^{-(t-\tau)}\,\mathrm{d}\tau\\
&\hphantom{{}={}}+\frac{3}{2}\mathrm{e}^{t/3}-\frac{3}{2}\mathrm{e}^{-t}\\
&= \frac{1}{4}(-3t^{2}-18t-54+54\mathrm{e}^{t/3})\\
&\hphantom{{}={}}-\frac{1}{4}(t^{2}-2t+2-2\mathrm{e}^{-t})+\frac{3}{2}\mathrm{e}^{t/3}-\frac{3}{2}\mathrm{e}^{-t}
\end{aligned}
\]である．したがって
\[
f(t) = -t^{2}-4t-14+15\mathrm{e}^{t/3}-\mathrm{e}^{-t}\quad(t\geq 0)
\]であり，微分方程式に代入すると，この式がすべての実数\(t\)で微分方程式を満たすことが確かめられる．

おわりに

最後に，意欲的な方，数学に詳しい方のために，本文では書けなかったキーワードをいくつか示しておく．

母関数の全体集合は形式的ローラン級数環 (formal Laurent series ring) \(\mathbb{C}(\!(S)\!)\)である．また，\(\mathbb{C}(\!(S)\!)\)は形式的べき級数環 (formal power series ring) \(\mathbb{C}\lbrack\!\lbrack S\rbrack\!\rbrack\)の分数体と同型である (Sambale, 2023, p.38)．実はこれが，添字の範囲を整数全体に広げるとうまくいく理由である．
演算子法は常微分方程式だけでなく，電信方程式 (telegraph equation) や熱方程式 (heat equation) などの偏微分方程式を解くのにも使える (Yosida, 1984)．
演算子法はラプラス変換 (Laplace transform) に基づいて説明することもできる．ミクシンスキーの演算子法とはかなり異なる理論だが，ほぼ同じ計算で微分方程式を解ける．制御工学では基本的な道具である．
形式的でないローラン級数\(X(z)=\sum x_{n}z^{-n}\)を数列\(\lbrace x_{n}\rbrace\)のZ変換 (Z‐transform) といい，母関数とよく似た性質を持つ．こちらもデジタル信号処理の基本的な道具である．
関数解析 (functional analysis) の理論を使うと，さらに多くの微分方程式へとアプローチできる．

補遺

連続関数について，畳み込みの結合法則を証明する．

［命題］ \((x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z)\)が成立する．

［証明］ \(g=x\ast y\)，\(h=y\ast z\)とおく．積分順序を入れ替えると
\[
\begin{aligned}
&\int_{0}^{t}g(u)z(t-u)\,\mathrm{d}u\\
&= \int_{0}^{t}\biggl(\int_{0}^{u}x(v)y(u-v)\,\mathrm{d}v\biggr)z(t-u)\,\mathrm{d}u\\
&= \iint_{0\leq v\leq u\leq t}x(v)y(u-v)z(t-u)\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}u\\
&= \int_{0}^{t}x(v)\biggl(\int_{v}^{t}y(u-v)z(t-u)\,\mathrm{d}u\biggr)\,\mathrm{d}v
\end{aligned}
\]となる．さらに，積分変数\(u\)を\(w=u-v\)に変えると
\[
\begin{aligned}
&\int_{0}^{t}x(v)\biggl(\int_{0}^{t-v} y(w)z(t-v-w)\,\mathrm{d}w\biggr)\,\mathrm{d}v\\
&= \int_{0}^{t}x(v)h(t-v)\,\mathrm{d}v
\end{aligned}
\]
となる．よって\(g\ast z=x\ast h\)，\((x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z)\)である．［証明終］

［注］ 積分順序を入れ替えられることは（Protter, 1985, p.307; 杉浦，1980，p.251）に記載がある．ルベーグ積分に関するフビニの定理からしたがうと考えてもよいだろう．

参考文献

演算子法の和書では（ミクシンスキー，1985a，1985b）と（吉田，1982）が有名だが，これらはいずれも絶版している．（吉田，1982）の英訳である (Yosida, 1984) は入手しやすい．

Doss, Raouf. An elementary proof of Titchmarsh’s convolution theorem. Proc. Amer. Math. Soc. 1988, 104(1), p. 181–184. https://www.ams.org/proc/1988-104-01/S0002-9939-1988-0958063-5/, (accessed 2023‐07‐14).
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